Rumus Persamaan Garis Singgung Bulat Beserta Pola Soal

Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran Beserta Contoh Soal - Dalam pembahasan kali ini saya akan menjelaskan wacana rumus persamaan garis singgung bulat beserta pola soal. Persamaan bulat dalam garis singgung ini meliputi tiga kondisi penting yaitu persamaan garis singgung pada bulat yang melalui satu titik didalamnya, garis singgung pada bulat yang melalui satu titik di luarnya, dan persamaan garis singgung yang memakai gradien (m) tertentu. Masing masing keadaan garis singgung tersebut mempunyai cara menghitung yang berbeda beda. Untuk itu penggunaan rumus garis singgung lingkarannya juga berbeda beda.

Sebelum membahas wacana rumus persamaan garis singgung lingkaran. Tentunya anda harus mengetahui terlebih dahulu menenai kriteria kedudukan garis dan titik pada sebuah bulat terlebih dahulu. Kedudukan garis dan titik ini sanggup membantu anda menuntaskan pola soal garis singgung bulat nantinya. Hal ini dikarenakan posisi titik pada bulat tersebut dipengaruhi oleh kedudukan garis dan titik terhadap lingkarannya. Posisi titik ini sanggup berada di luar lingkaran, di dalam bulat ataupun pada lingkarannya. Untuk lebih jelasnya sanggup anda simak klarifikasi persamaan bulat di bawah ini.

Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran Beserta Contoh Soal

Seperti yang sudah saya katakan di atas bahwa anda harus mengetahui letak kedudukan garis dan titik pada bulat sebelum lanjut ke tahap rumus persamaan garis singgung lingkarannya. Untuk itu dibawah ini terdapat gambar kedudukan garis dan titik terhadap lingkarannya, baik di luar lingkaran, memotong pada dua titik terhadap lingkaran, ataupuun menyinggung bulat (garis memotong pada satu titik lingkaran). Berikut gambar kedudukan persamaan lingkarannya yaitu:

Baca juga : Rumus Persamaan Eksponen Beserta Contoh Soal Eksponen

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Gambar di atas merupakan ilustrasi kedudukan titik terhadap sebuah lingkaran. Kedudukan ini akan mempengaruhi penggunaan rumus persamaan garis singgung lingkarannya. Maka dari itu sebelum menerapkan rumus persamaan bulat ini, anda harus tahu betul letak titiknya.

Garis Singgung Melewati Sebuah Titik Lingkaran

Rumus persamaan garis singgung bulat yang pertama berkaitan dengan garis singgung yang melewati sebuah titik pada lingkaran. Dalam garis singgung ini terdapat sebuah titik sentra P pada lingkaran. Kemudian titik Q dengan koordinat x dan y ingin menyinggung bulat tersebut. Untuk itu cara mencari garis singgung yang melalui titik Q terhadap bulat tersebut diharapkan persamaan bulat semoga titik Q dan P sanggup saling menyinggung. Perhatikan gambar di bawah ini!

Persamaan Garis Singgung Titik Q Terhadap Lingkaran

Untuk memilih garis singgung yang melalui sebuah titik terhadap bulat di atas sanggup memakai beberapa persamaan umum. Bentuk persamaan bulat yang diketahui tersebut akan mempengaruhi penggunaan rumusnya. Adapun rumus persamaan garis singgung bulat yang melewati sebuah titik yaitu sebagai berikut:

Tabel Rumus Persamaan Garis Singgung Melewati Sebuah Titik

Contoh Soal
Hitunglah persamaan garis singgung bulat yang mempunyai persamaan bulat (x + 3)² + (y - 4)² = 49 melewati titik Q (2, 5)?

Baca juga : Rumus Turunan Trigonometri Beserta Contoh Soal Lengkap

Pembahasan.
Rumus persamaan garis singgung bulat yang dipakai ialah (x - h) (x1 - h) + (y - k) (y1 - k) = r² melalui titik Q (2, 5). Maka
(x - h) (x1 - h) + (y - k) (y1 - k) = r²
  (x + 3) (2 + 3) + (y - 4) (5 - 4) = 49
             (x + 3) (5) + (y - 4) (1) = 49
                         5x + 15 + y – 4 = 49
                       5x + y + 11 – 49 = 0
                               5x + y – 38 = 0
Kaprikornus persamaan garis singgung bulat yang melewati titik Q (2, 5) dengan persamaan bulat (x + 3)² + (y - 4)² = 49 ialah 5x + y – 38 = 0

Garis Singgung Melewati Sebuah Titik di Luar Lingkaran

Rumus persamaan garis singgung bulat selanjutnya berkaitan dengan garis singgung yang melewati sebuah titik di luar lingkaran. Jenis garis singgung tersebut sanggup dinamakan dengan garis singgung polar atau garis singgung kutub. Garis singgung pada bulat sanggup dicari apabila diluar bulat terdapat titik (x, y) dengan cara menarik garis lurus menuju titik tadi. Dengan begitu garisnya sanggup menyinggung lingkarannya. Untuk lebih jelasnya sanggup anda perhatikan gambar di bawah ini:

Ilustrasi Garis Singgung Lingkaran Yang Melewati Titik di Luar Lingkaran

Cara memilih persamaan garis singgung bulat yang melewati titik diluar bulat tersebut memakai beberapa langkah penting. Adapun langkah langkahnya yaitu sebagai berikut:

• Mencari persamaan bulat yang garis singgungnya memakai konsep permisalan. Adapun rumusnya yaitu y – y1 = m (x – x1), dimana x dan y ialah titik yang dilalui oleh garis singgung di luar lingkaran. Sedangkan m ialah gradien.
• Setelah itu nilai y disubstitusikan ke persamaan bulat di atas sehingga memperoleh variabel x pada persamaan kuadrat.
• Untuk mencari persamaan garis singgung bulat selanjutnya ialah mencari nilai diskriminan pada persamaan kuadratnya. Maka nilai D = 0 untuk menciptakan garis yang sanggup menyinggung lingkarannya.
• Langkah selanjutnya ialah menuntaskan persamaan kuadrat pada langkah sebelumnya.
• Kemudian substitusikan pada persamaan bulat y – y1 = m (x – x1).

Contoh Soal
Hitunglah persamaan garis singgung bulat yang mempunyai persamaan bulat x² + y² = 16 melewati titik (4, 1)?

Pembahasan.
Usahakan titik (4, 1) ini berada diluar lingkaran. Caranya yaitu dengan substitusikan ke persamaannya, maka:
x² + y² = 4² + 1² = 16 + 1 = 17

Nilai x² + y² = 17 > 16, maka titik (4, 1) tersebut terletak di luar lingkaran.

Kemudian hitung persamaan garis singgung lingkarannya dengan menerapkan langkah langkah di atas. Maka kesudahannya akan menjadi menyerupai di bawah ini:

• Membuat permisalan memakai persamaan y – y1 = m (x – x1) maka kesudahannya akan menjadi: 

y – 1 = m (x - 4)\
y – 1 = mx – 4m
      y = mx – 4m + 1

• Persamaan y = mx – 4m + 1 disubstitusikan ke persamaan x² + y² = 16. Maka kesudahannya akan menjadi:

                                                              x² + y² = 16
                                        x² + (mx – 4m + 1) ² = 16
x² + m²x² - 8m²x + 2mx + 16m² - 8m + 1 – 16 = 0
   (m² + 1)x² - (8m² - 2m)x + (16m² - 8m - 15) = 0

Baca juga : Rumus Identitas Trigonometri Beserta Contoh Soalnya

• Setelah itu menghitung nilai diskriminan D = 0. Dari perhitungan langkah kedua diperoleh nilai:

a = m² + 1; b = 8m² - 2m; c = 16m² - 8m – 15
Maka                                                                                         

• Mencari nilai m dengan menuntaskan persamaan 32m + 60 = 0

Maka
32m + 60 = 0
       32 m = -60
            m = -60/32
            m = -15/8

• m = -15/8 disubstitusikan ke persamaan y = mx – 4m + 1

Maka hasilnya
  y = mx – 4m + 1
  y = -15/8x – 4(-15/8) + 1
  y = -15/8x + 15/2 + 1
8y = -15x + 68
15 x + 8y – 68 = 0
Kaprikornus persamaan garis singgung bulat yang melewati titik (4,1) dengan persamaan bulat x² + y² = 16 ialah 15 x + 8y – 68 = 0

Garis Singgung Lingkaran Dengan Gradien Tertentu

Rumus persamaan garis singgung bulat selanjutnya berkaitan dengan garis singgung yang mempunyai gradien tertentu. Untuk memilih garis singgung ini sanggup memakai beberapa rumus atau persamaan. Rumus tersebut diadaptasi dengan persamaan bulat yang sebelumnya telah diketahui. Berikut beberapa rumusnya yaitu sebagai berikut:

Tabel Rumus Persamaan Garis Singgung Dengan Gradien Tertentu

Contoh Soal
Diketahui garis singgung bulat mempunyai gradien 4 dengan persamaan lingkaranya x² + y² + 16. Tentukan persamaan garisnya?

Pembahasan.
Gunakan rumus persamaan garis singgung bulat yaitu y = mx ± r√m²+1. Maka:
y = mx ± r√m²+1
y = 4x ± 4 √4²+1
y = 4x ± 12
Kaprikornus persamaan garis singgung bulat yang bergradien 4 dengan persamaan bulat x² + y² = 16 ialah y = 4x + 12 atau y = 4x -12.

Sekian klarifikasi mengenai rumus persamaan garis singgung bulat beserta pola soal. Rumus pada garis singgung tersebut tergantung pada jenis persamaan bulat yang diketahui. Semoga artikel ini sanggup menambah ilmu anda dan selamat belajar.